永磁同步伺服的闭环控制方法

浩 Hao控制类，电力拖动

本文是本科毕业论文系列的第二篇，其他各篇请见《本科毕设：交流伺服系统控制环路问题研究》

本节将介绍基础的永磁同步伺服控制方法，构建电流环、速度环和位置环的控制框图。

根据上文《永磁同步电机的数学模型》可以得到永磁同步电机的在d–q坐标系下的电压方程

(1)   \begin{align*} u_d&=R_si_d+PL_di_d-\omega_rL_qi_q\\ u_q&=R_si_q+PL_qi_q+\omega_rL_di_d+\omega_r\Psi_f \end{align*}

电磁转矩方程

(2)   \begin{equation*} T_{em}=\frac{3}{2}\cdot p\cdot\left[\Psi_fi_q+(L_d-L_q)i_di_q\right] \end{equation*}

和机械运动方程

(3)   \begin{equation*} T_{em}-T_{l}=J\frac{d\omega_m}{dt}+B\omega_m \end{equation*}

电流环

电流环控制对象是PWM逆变器、电动机电枢回路、电流采样和滤波电路[18, §5.6.1]。

PWM逆变器方面，如果忽略电子电路延时，仅考虑主电路逆变器的延时，逆变器可以看做一个一阶惯性环节。假设逆变器的工作频率为f，其开关周期为T=1/f，而装置延时时间T_V\leqslant T。对于一个数字控制器，如果在一个逆变器周期内采样两次，可以得到装置近似延迟时间为T_V=T/2，由此可以得到逆变器环节的传递函数为

(4)   \begin{equation*} G_V(s)=K_Ve^{-T_Vs} \end{equation*}

其中K_V为逆变器的放大倍数。将上述模型近似为一个一阶惯性环节得到

(5)   \begin{equation*} G_V(s)\approx\frac{K_V}{T_Vs+1} \end{equation*}

电机模型方面，将式(1)拉普拉斯变换得到

(6)   \begin{align*} U_d(s)&=R_1I_d(s)+sL_dI_d(s)-\omega_r(s)L_qi_q(s) \\ U_q(s)&=R_1I_q(s)+sL_qI_q(s)+\omega_r(s)L_di_d(s)+\omega_r(s)\Psi_f \label{eq:Uq} \end{align*}

进一步可以得到

(7)   \begin{align*} I_d(s)&=\frac{1/R_1}{1+(L_d/R_1)s}\left[U_d(s)+L_qI_q(s)\omega_r(s)\right]\\ I_q(s)&=\frac{1/R_1}{1+(L_q/R_1)s}\left[U_q(s)-L_dI_d(s)\omega_r(s)-\Psi_f\omega_r(s)\right] \end{align*}

可以看出d轴电流和q轴电流相互耦合。在i_d=0的控制策略下，d轴电流十分小，因此L_di_d\ll\Psi_f，所以式(7)可以近似为

(8)   \begin{equation*} I_q(s)=\frac{1/R_1}{1+(L_q/R_1)s}\left[U_q(s)-E_f(s)\right] \end{equation*}

其中E_f(s)=\Psi_f\omega_r(s)。由此即可实现近似解耦控制[16, §2.3.4]。

采样和滤波环节通常设计为一阶低通滤波器，它的时间常数为T_{Fc}[21, §4.2.2.1]。所以采样环节可以表示为

(9)   \begin{equation*} G_{Fc}(s)=\frac{1}{T_{Fc}s+1} \end{equation*}

之后我们可以得到d轴和q轴的控制框图如图1和图2所示。图中，K_{Pd}和K_{Pq}分别是d轴和q轴PI调节器的比例系数；K_{Id}和K_{Iq}分别是d轴和q轴PI调节器的积分系数；I_d^*和I_q^*分别是d轴和q轴电流给定。从式(2)可以看出，对于表贴式同步电机L_d=L_q，i_d对于电机的转矩没有任何影响，所以控制中i_d^*一般取0。

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图1    d轴电流环控制框图

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图2    q轴电流控制框图

该系统d轴和q轴的开环增益分别为

(10)   \begin{align*} G_{od}(s)&=\left(K_{Pd}+\frac{K_{Id}}{s}\right)\cdot \frac{K_V}{1+T_Vs}\cdot\frac{1/R_1}{1+(L_d/R_1)s}\cdot \frac{1}{1+T_{Fc}s} \\ G_{oq}(s)&=\left(K_{Pq}+\frac{K_{Iq}}{s}\right)\cdot \frac{K_V}{1+T_Vs}\cdot\frac{1/R_1}{1+(L_q/R_1)s}\cdot \frac{1}{1+T_{Fc}s} \label{eq:Goq} \end{align*}

将逆变器引起的延时T_V和滤波器引起的延时T_{Fc}两个小惯性环节近似叠加为一个延时[21, §4.2.2.1]，取T_c=T_V+T_{Fc}，则

(11)   \begin{align*} G_{od}(s)&\approx\left(K_{Pd}+\frac{K_{Id}}{s}\right)\cdot \frac{K_V}{1+T_cs}\cdot\frac{1/R_1}{1+(L_d/R_1)s} \\ G_{oq}(s)&\approx\left(K_{Pq}+\frac{K_{Iq}}{s}\right)\cdot \frac{K_V}{1+T_cs}\cdot\frac{1/R_1}{1+(L_q/R_1)s} \label{eq:Goq2} \end{align*}

使PI调节器零点抵消控制对象中较大的时间常数极点，即由电机本身产生的极点[18, §5.6.1]，取

(12)   \begin{align*} K_{Pd}/K_{Id}&=L_d/R_1\\ K_{Pq}/K_{Iq}&=L_q/R_1\label{eq:kpqtokiq} \end{align*}

最终可以得到开环传函

(13)   \begin{align*} G_{od}(s)&\approx\frac{K_{Id}K_V/R_1}{s(1+T_cs)}=\frac{K_c}{s(1+T_cs)} \\ G_{oq}(s)&\approx\frac{K_{Iq}K_V/R_1}{s(1+T_cs)}=\frac{K_c}{s(1+T_cs)} \label{eq:Goq3} \end{align*}

其中K_c=K_{Id}K_V/R_1=K_{Iq}K_V/R_1。电流环开环幅频响应如图3所示。

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图3    电流环开环幅频响应

速度环

在速度环中，只需要考虑q轴电流，此时由式(13)可以得到q轴电流环的闭环传函为

(14)   \begin{equation*} G_{cq}(s)\approx\frac{K_c}{T_cs^2+s+K_c} \end{equation*}

因为T_c\ll L_d/R_1，可以将该延时视为一个一阶小惯性环节，进而将闭环传函进一步简化为

(15)   \begin{equation*} G_{cq}(s)\approx\frac{K_c}{s+K_c} \end{equation*}

式(15)即为速度环中电流环简化模型，进行近似需要满足如下条件[22, §2.4.2]

(16)   \begin{equation*} \omega_{os}\leqslant\frac{1}{3}\sqrt{\frac{K_c}{T_c}} \end{equation*}

电磁转矩方面，对于表贴电机L_d=L_q；对于凸极电机由于d轴电流很小，可以认为(L_d-L_q)i_d\ll\Psi_f。现定义转矩常数K_T=3p\Psi_f/2，所以q轴电流和电磁转矩之间的关系由式(2)近似为

(17)   \begin{equation*} T_{em}\approx \frac{3}{2}p\Psi_fi_q=K_Ti_q \end{equation*}

将式(3)进行拉普拉斯变化得到

(18)   \begin{equation*} T_{em}(s)-T_l(s)=(Js+B)\omega_m(s) \end{equation*}

所以可以得到

(19)   \begin{equation*} G_T(s)=\frac{\omega_m(s)}{T_{em}(s)}=\frac{1}{Js+B} \end{equation*}

电机摩擦系数B比较小，通常可以忽略不计[18, §5.6.1]或者视作负载转矩的一部分[21, §4.3.4.1]。因此，式(19)可以简化为

(20)   \begin{equation*} G_T(s)\approx\frac{1}{Js} \end{equation*}

与电流环一样，采样和滤波环节通常设计为一阶低通滤波器

(21)   \begin{equation*} G_{Fs}(s)=\frac{1}{T_{Fs}s+1} \end{equation*}

使用PI调节器的速度环控制框图如图4所示。图中，K_{Ps}和K_{Is}分别是速度环PI调节器的比例系数和积分系数；\omega_m^*为系统的转速给定。

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图4    使用PI调节器的速度环控制框图

该系统速度环的增益为

(22)   \begin{equation*} G_{os}(s)=\left(K_{Ps}+\frac{K_{Is}}{s}\right)\cdot\frac{1}{1+(1/K_c)s}\cdot \frac{K_T}{Js}\cdot\frac{1}{T_{Fs}s+1} \end{equation*}

将电流内环时间常数1/K_c和滤波器引起的延时T_{Fs}两个小惯性环节近似叠加为一个延时[22, §2.4.2]，取T_{s1}=1/K_c+T_{Fs}，则

(23)   \begin{equation*} \begin{split} G_{os}(s)&\approx\left(K_{Ps}+\frac{K_{Is}}{s}\right)\cdot\frac{1}{1+T_{s1}s}\cdot \frac{K_T}{Js}\\ &=\frac{K_TK_{Is}\left(1+K_{Ps}/K_{Is}s\right)}{Js^2\left(1+T_{s1}s\right)}\\ &=\frac{K_s(1+T_{s2}s)}{s^2(1+T_{s1}s)} \end{split} \end{equation*}

其中，T_{s2}=K_{Ps}/K_{Is}；K_s=K_TK_{Is}/J。

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图5    使用PI调节器的速度环开环幅频响应

现定义\omega_{s1}=1/T_{s1}、\omega_{s2}=1/T_{s2}、\omega_{os}为系统的截止频率，可以绘制开环传函式(23)的幅频响应如图5所示。图中，横轴为系统的频率，纵轴为开环增益。可以看出，系统由三部分组成该：低频部分以-40~dB/dec的速率下降，此时系统的传函可以近似为

(24)   \begin{equation*} G_{os-low}(s)\approx\frac{K_s}{s^2}=\frac{K_TK_{Is}}{Js^2} \end{equation*}

中频部分以-20~dB/dec的速率下降，此时系统的传递函数可以近似为

(25)   \begin{equation*} G_{os-mid}(s)\approx\frac{K_sT_{s2}}{s}=\frac{K_TK_{Ps}}{Js} \end{equation*}

高频部分以-40~dB/dec的速率下降，此时系统的传递函数可以近似为

(26)   \begin{equation*} G_{os-high}(s)\approx\frac{K_sT_{s2}}{T_{s1}s^2}=\frac{K_TK_{Ps}}{J(1/K_c+T_{Fs})s^2} \end{equation*}

系统的截止频率由|G_{os}(j\omega)|=1求出，应用中频段近似传函式(25)，系统截止频率约为

(27)   \begin{equation*} \omega_{os}\approx K_sT_{s2}=\frac{K_TK_{Ps}}{J} \end{equation*}

位置环

由速度环开环传函式(23)可以得到速度环闭环传函为

(28)   \begin{equation*} G_{cs}(s)=\frac{K_sT_{s2}s+K_s}{T_{s1}s^3+s^2+K_sT_{s2}s+K_s} \end{equation*}

因为系统速度响应远比位置响应快，即位置环截止频率远低于速度环截止频率[18, §5.6.1]，且考虑到位置环主要在转速调节器的带宽内调节[21, §4.4.1]，可以将速度环近似为一个与原传函有相同截止频率的一阶惯性环节，此时系统的开环传函可以简化为式(25)，闭环传函可以简化为

(29)   \begin{equation*} G_{cs}(s)=\frac{K_sT_{s2}}{s+K_sT_{s2}} \end{equation*}

位置伺服系统不希望位置出现超调和振荡，以免位置控制精度下降，因此位置控制器应当采用比例调节器[18, §5.6.1]。因为位置环的测量通常使用码盘测量，无需在反馈测量回路进行滤波。

由此可以得到位置环控制框图如图6所示。图中，K_{Pp}为比例调节器的比例系数；\theta_m^*和\theta_m分别为系统的位置给定和位置输出。

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图6    位置环控制框图

该系统的位置环开环增益为

(30)   \begin{equation*} G_{op}(s)=\frac{K_{Pp}K_sT_{s2}}{s(s+K_sT_{s2})} \end{equation*}

进而得到该系统的闭环增益为

(31)   \begin{equation*} \begin{split} G_{cp}(s)&=\frac{G_{op}(s)}{1+G_{op}(s)} =\frac{K_{Pp}K_sT_{s2}}{s^2+K_sT_{s2}s+K_{Pp}K_sT_{s2}}\\ &=\frac{\omega_{np}^2}{s^2+2\zeta_p\omega_{np}s+\omega_{np}^2} \end{split} \end{equation*}

式中，\omega_{np}=\sqrt{K_{Pp}K_sT_{s2}}为振荡角频率；\zeta_p=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{K_sT_{s2}}{K_{Pp}}}为阻尼系数。

综合控制框图

由上文得到永磁同步伺服系统综合控制框图如图7所示。该框图不包含d轴电流，d轴电流的控制框图为图1。

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图7    永磁同步电机综合控制框图

图中，K_e=p\Psi_f为系统的反电动势常数，当采用功率不变的Park变换和Clarke变换的情况下，K_e和K_T定义相同，所以在国际单位制（SI Unit）情况下（K_e的国际单位是V(s/rad)；K_T的国际单位是Nm/A），两个常数值是相同的[24]；当采用幅值不变的Park变换和Clarke变换的情况下，K_T=(3/2)K_e。实际系统中需要考虑到功率因数、d轴电流等因素，两者并非完全遵循上述等式。

总结

本文主要介绍了永磁同步电机的基本控制原理，其中电流环采用了近似解耦方式，实际控制中为达到更好的解耦效果，通常需要完全解耦，详见《永磁同步电机的完全解耦控制》。

参考文献：

[16] 王耕, 王晓雷. 控制电机及其应用（修订版）[M]. 北京: 电子工业出版社, 2012.

[18] 孙冠群, 李璟, 蔡慧. 控制电机与特种电机[M]. 第2 版. 北京: 清华大学出版社, 2016.

[21] SUL S-K. Control of Electric Machine Drive System[M]. Hoboken NJ: JOHN WILEY & SONS INC, 2011.

[22] 陈伯时. 电力拖动自动控制系统：运动控制系统[M]. 第3 版. 北京: 机械工业出版社, 2003.

[23] 彭瑞. 永磁同步电机交流伺服系统的研究[D]. 南京: 南京航空航天大学, 2007.

[24] The Northwestern University mechatronics design wiki. Mystery Motor Data Sheet[EB/OL]. 2011 [2017-04-19]. http://hades.mech.northwestern.edu/images/6/61/Asst7.pdf.

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